موسوعة الإلكترونيات الحرة وتعليم البرمجيات.

مواضيع جديدة

الأحد، 12 يناير 2020

المنطق الرقمي Digital Logic



شرح المنطق الرقمي والدارات المنطقية

المنطق الرقمي Digital Logic

في علم الالكترونيات، تصنف الدارات الكهربائية إلى نوعين أساسيين من الدارات، الدارات التماثلية والدارات الرقمية. حيث تقوم الأولى بالاعتماد على حسابات تتعلق بكمية التيار وفرق الجهد وكمية الشحنات المخزونة وحسابات أخرى تتعلق بكمية الحث الكهرومغناطيسي الذي في الدارة وسعة تردد الموجات التماثلية والقدرة الكهربائية وغيرها. 

لذلك فإن هذا النوع من الدارات، أي الدارات التماثلية تعتمد في أدائها الكلي على جميع الحسابات المرتبطة بكل عنصر من عناصرها الالكترونية. إضافة إلى أن أي تعديل في تصميم تلك الدارات التماثلية قد يتطلب جهداً كبيراً، بحيث يجب فهم مخطط تلك الدارة بالتفصيل قبل اجراء أي تعديل عليها.
ومن هنا، جاء دور المنطق الرقمي؛ بحيث يصبح المنطق هو الحليف الأمثل في تفسير مخطط سير الدارات الرقمية وذلك بأخذ قيمتين فقط؛ هما وجود إشارة تمثل بالرقم 1 أو عدم وجود إشارة تمثل بالرقم 0. فالمنطق الرقمي، لا يتعامل مع أي أرقام عشوائية أو أرقام متراوحة ضمن فترة معينة، أي فقط الرقم 1 والذي يمثل وضع التشغيل ON، والرقم 0 الذي يمثل وضع عدم التشغيل أي الإيقاف OFF.
بعكس الدارات التماثلية تماماً، المنطق الرقمي يتعامل مع قيمتين فقط. أما الدارات التماثلية فهي تتراوح قيمها من الصفر فما أكبر من ذلك من الوحدات الكهربائية من الفولت، الأمبير، الهنري، الفاراد، الهيرتز، الوات، الأوم وغيرها.

تعريف المنطق الرقمي Digital Logic Definition

قبل أن نتطرق إلى تعريف المنطق الرقمي، علينا أولا أن نقوم بتعريف المنطق، يليه تعريف المنطق الرياضي ثم المنطق الرقمي المشتق من المنطق الرياضي.

ما هو المنطق؟

تعريف المنطق هو الدراسة المنهجية التي تقود إلى الاستنتاج والاستدلال الصحيح والتي تتطابق مع حقيقة الواقع الذي نعيشه، ضمن علاقات محددة تدعم افتراضات الاستدلال ونتائجه.

ما هو المنطق الرياضي؟

تعريف المنطق الرياضي هو الحكم على المواقف أو الحالات فيما إذ كانت صائبة أم خاطئة، وبالتالي فهي لا تتضمن سوى قيمتين محددتين هما الصواب والخطأ. فالعبارة التي يحكم عليها بالصواب تسمى عبارة منطقية صائبة، أما العبارة التي يحكم عليها بالخطأ تسمى عبارة منطقية خاطئة. علماً أنه لا توجد عبارة منطقية تحتمل الحكمين معاً، أي عبارة صائبة وخاطئة بنفس الوقت.

ما هو المنطق الرقمي؟

تعريف المنطق الرقمي هو منطق يتعامل مع رقمين فقط هما الصفر والواحد، بحيث يشير العدد صفر إلى عدم وجود إشارة كهربائية (صفر فولت)، والواحد يشير إلى وجود إشارة كهربائية (5 فولت). تتفاعل الأرقام سواء الصفر أم الواحد عن طريق علاقات منطقية أساسية هما أو OR، و AND، لا NOT.

العمليات المنطقية Digital Operations

تمثل العمليات المنطقية باستخدام مجموعة من الإشارات الجبرية. إذا كان المتغير A والمتغير B متغيران منطقيان، فإن بعض العمليات المنطقية على هذين المتغيرين يمكن تمثيلهما كما يأتي:
1- عملية (و) AND: A.B
2- عملية (أو) OR: A+B
3- عملية (لا) NOT: ~A
وبهذا يمكن التعبير عن العمليات المنطقية كما يأتي:
1- عملية (و): A.B = "1" إذا كان كل من A و B مساوياً "1".
                         = "0" إذا كان A أو B أو كلاهما مساوياً "0".
2- عملية (أو): A+B = "0" إذا كان كل من A و B مساوياً "0".
                          = "1" إذا كان A أو B أو كلاهما مساوياً "1".
3- عملية (لا): ~A = "0" إذا كان A مساوياً "1".
                       = "1" إذا كان A مساوياً "0".

مبدأ عمل المنطق الرقمي

تتم العمليات المنطقية باستخدام مجموعة من أدوات الربط، والتي تعتمد في الأساس على العمليات المنطقية الثلاث OR, AND, NOT. كما ويمكننا من خلال تطبيقها بين مجموعة من العبارات المنطقية الرقمية الخروج بنتيجة منطقية رقمية منتظرة.  تسمى هذه العبارة بالمتغيرات المنطقية والتي تشكل المدخلات للعمليات المنطقية الرقمية، بحيث يتم تحديد النتيجة للعمليات المنطقية النهائية بناءً على صواب أو خطأ المدخلات، وللتعرف إلى اهمية دور ادوات الربط المنطقية ومبدأ عملها، سيتم عرض ومناقشة المنطق الرقمي أو (OR)، و (AND)، لا (NOT) كل على حدا.

جدول الصواب Truth Table

تستخدم هذه الجداول لوصف العمليات المنطقية، حيث تحتوي على كل الاحتمالات الممكنة للمتغيرات المنطقية، وعلى ناتج العملية لكل حالة. فإذا كان عدد المتغيرات (أي المدخلات) مساوياً للعدد 2 فإن عدد احتمالات الناتج هو 4، أما إذا كان عدد المتغيرات مساوياً للعدد 3 فإن عدد الاحتمالات هو 8، أي أن عدد الاحتمالات يرتبط بعدد المتغيرات حسب العلاقة الآتية:
أي أن عدد الاحتمالات تساوي العدد اثنان مرفوعاً إلى الأس ن. حيث أن العدد ن: عدد المتغيرات المنطقية.
وبهذا فإن طريقة حساب عدد الأعمدة والصفوف الآزمة للعمليات المنطقية في جدول الصواب لأي عملية منطقية ذات متغيرين مثل A, B سيشمل على أربعة صفوف عدا الصف الخاص بأسماء تلك المتغيرات الرقمية.

المنطق الرقمي أو OR Digital Logic

كما هو الحال في المنطق الرياضي، يقوم مبدأ المنطق الرقمي OR على أنه إذا كانت قيمة إحدى المدخلات الرقمية 1، فسيكون الناتج 1 مهما كانت قيمة المدخلات الأخرى. أيضاً، يكون الناتج الرقمي صفراً إذا وفقط إذا كانت جميع المدخلات أصفاراً أي مساوية للصفر 0.
يشار إلى المنطق الرقمي الذي تتعامل معه تلك المتغيرات الرقمية بالإشارة + أي إشارة الزائد. فعندما نقول المتغير الرقمي A أو المتغير الرقمي B، فنقوم بتمثيلها بالعبارة A+B بدلاً من A OR B في جميع المعادلات المنطقية. الجدول التالي يبين جدول الصواب الخاص بالمنطق الرقمي أو OR.
جدول الصواب الخاص بالمنطق الرقمي أو OR
اسم المتغير الرقمي الأول
 A
اسم المتغير الرقمي الثاني
 B
الناتج الرقمي A أو B
A+B
0
0
0
1
0
1
0
1
1
1
1
1

نلاحظ من جدول الصواب الخاص بالمنطق أو OR أن الإشارة الكهربائية عند المخرجات تكون في وضع التشغيل ON عندما يكون أي من المدخلات يحتوي على تلك الإشارة الكهربائية.

المنطق الرقمي و AND Digital Logic

يقوم مبدأ المنطق الرقمي AND على أنه إذا كانت قيمة إحدى المدخلات الرقمية 0، فسيكون الناتج 0 مهما كانت قيمة المدخلات الأخرى. أيضاً، يكون الناتج الرقمي واحد، إذا وفقط إذا كانت جميع المدخلات تساوي 1 أي جميعها تمتلك إشارة كهربائية.
يشار إلى المنطق الرقمي AND والذي تتعامل معه تلك المتغيرات الرقمية بالإشارة. أي إشارة النقطة. فعندما نقول المتغير الرقمي A (و) المتغير الرقمي B، فنقوم بتمثيلها بالعبارة A.B بدلاً من A AND B في جميع المعادلات المنطقية. الجدول التالي يبين جدول الصواب الخاص بالمنطق الرقمي و AND.
جدول الصواب الخاص بالمنطق الرقمي و AND
اسم المتغير الرقمي الأول
 A
اسم المتغير الرقمي الثاني
 B
الناتج الرقمي A و B
A.B
0
0
0
1
0
0
0
1
0
1
1
1

نلاحظ من جدول الصواب الخاص بالمنطق و AND أن الإشارة في المخرجات تشمل على إشارة كهربائية، عندما يكون جميع المدخلات تحتوي على تلك إشارة كهربائية. وفي حال أن إحدى المدخلات لم تشمل على تلك الإشارة، سيكون الناتج صفر أي وضع الإيقاف OFF.

المنطق الرقمي لا NOT Digital Logic

يقوم مبدأ المنطق الرقمي لا والمسمى باللغة الإنجليزية NOT على عكس قيمة المدخلات من العدد 0 إلى العدد 1 وبالعكس. فإذا كان المدخل يشمل على الإشارة الكهربائية (أي واحد) وقمنا بتطبيق المنطق الرقمي لا عليها، فسيصبح الناتج عكسه تماماً (أي صفر).
يشار إلى المنطق الرقمي NOT والذي تتعامل معه تلك المتغيرات الرقمية بالإشارة ~ أي إشارة المدة أو بالإشارة _ أي إشارة الشَرطة فوق الحرف أو العبارة المطلوب نفيها. فعندما نقول المتغير الرقمي A فإن معكوس ذلك المتغير هو ~A أو Ā بدلاً من أن تكتب NOT A. الجدول التالي يبين جدول الصواب الخاص بالمنطق الرقمي لا NOT.
جدول الصواب الخاص بالمنطق الرقمي لا NOT
اسم المتغير الرقمي
 A
الناتج الرقمي لنفي المتغير A
A~
0
1
1
0

نلاحظ من جدول الصواب الخاص بالمنطق لا NOT أن الإشارة الكهربائية في المدخل تنعكس تماماً عند المخرج.

قوانين المنطق الرقمي Digital Logic Rules

هنالك العديد من الحسابات المتعلقة بالمنطق الرقمي والتي تنطبق عليها قوانين منطقية من شأنها تسيير أمور المعادلات المنطقية، والتي بدورها تشمل على المتغيرات الرقمية بداخلها كالمتغيرات A, B, C, …. بحيث تتفاعل تلك المتغيرات الرقمية فيما بينها من خلال قوانين يطلق عليها قوانين المنطق الرقمي أو قوانين الجبر البولي.

قوانين المنطق الرقمي أو OR

0.0 = 0
A.1 = A
0.1 = 0
A.A = A
1.1 = 1
A.B = A.B
A.0 = 0
A.~A = 0

قوانين المنطق الرقمي و AND

0+0 = 0
A+1 = 1
0+1 = 1
A+A = A
1+1 = 1
A+B = A+B
A+0 = A
A+~A = 1

قوانين المنطق الرقمي لا NOT

A+~A = 1
A.~A = 0
A+~B = A+~B
A.~B = A.~B

الخاصية التوزيعية في المنطق الرقمي

A.(B+C) = A.B + A.C

الخاصية التبديلية في المنطق الرقمي

A+B = B+A
A.B = B.A

قوانين دي مورغان في المنطق الرقمي

هنالك قانونان اثنان من قوانين ديمورغان (ديمورجان) والتي توظف توزيع خاصية النفي على الجمع (أو) وعلى الضرب (و) كما في الجدول التالي:
~(A+B) = ~A.~B
~(A.B) = ~A+~B
نلاحظ أنه عند توزيع إشارة النفي على الضرب (AND) ستتحول الإشارة الى الجمع (OR) والعكس صحيح. أي عند توزيع إشارة النفي على الجمع (OR) فستتغير الإشارة الى الضرب (AND).

معادلات منطقية خاصة بالمنطق الرقمي

لدراسة ناتج مخرجات أي معادلة منطقية، علينا تفريغ احتمالات قيم المدخلات في جدول الصواب ثم التدقيق والنظر في ناتج المخرجات كما في المثال التالي:
ما ناتج المعادلة المنطقية A.B+~A
A
B
A.B
~A
A.B+~A
0
0
0
1
1
1
0
0
0
0
0
1
0
1
1
1
1
1
0
1

إذن نستنتج من جدول الصواب السابق أن ناتج المعادلة المنطقية A.B+~A يساوي صفر عندما تكون قيمة المتغير A=1 و قيمة المتغير B=0. أما القيمة عند الاحتمالات الأخرى للمتغيرين A,B، فإن A.B+~A يساوي 1. فلو فرضنا أن المنطق 1 هو وجود إشارة كهربائية، فإن المصباح الكهربائي الذي يعمل على المعادلة المنطقية السابقة سيضيئ في جميع الحالات المنطقية عدا عند القيم A=1, B=0. حيث يتم الربط بين الدارات المنطقية والدارات الكهربائية العملية عن طريق مفهوم البوابات المنطقية والتي سنتطرق إلى شرحها بالتفصيل في الدرس التالي للمنطق الرقمي.

متطابقات منطقية خاصة بالمنطق الرقمي

في بعض الأحيان، قد نحتاج إلى تبسيط المعادلة المنطقية إلى ما يكافئها بشكل مبسط، أي معادلة منطقية مبسطة ولها نفس المدخلات وناتج المخرجات مع اختلاف العمليات الحسابية. فعلى سبيل المثال المعادلة المنطقية A.B+A.~B = A كما يلي:
من الطرف الأيمن:
A.B+A.~B = A.(B+~B) = A.(1) = A أي الطرف الأيسر
وللتأكد من صحة التطابق المنطقي عن طريق جدول الصواب، نقوم بما يلي:
A
B
A.B
~B
A.~B
A.B+A.~B
0
0
0
1
0
0
1
0
0
1
1
1
0
1
0
0
0
0
1
1
1
0
0
1

كما نلاحظ أثناء التدقيق والنظر بالجدول المنطقي أي جدول الصواب نلاحظ أن ناتج المخرجات عند A.B+A.~B مطابقة ومساوية لقيم المتغير المنطقي A عند جميع الاحتمالات.

أسئلة شائعة على المنطق الرقمي

سؤال: لماذا يطلق على قوانين المنطق الرقمي قوانين الجبر البولي؟

جواب: في خمسينات القرن التاسع عشر، طور العالم الرياضي جورج بوول نظاماً رياضياً يعتمد على المنطق لصياغة العبارات المنطقية برموز رياضية بحيث يمكن كتابة المسائل وحلها بطريقة الجبر في الرياضيات، أو الجبر البولي (Boolean Algebra) والذي يسمى أيضاً بالجبر المنطقي والذي يطبق اليوم في تصميم وتحليل الأنظمة الرقمية.

سؤال: متى تتكافأ العبارات المنطقية؟

جواب: تتكافأ أي عبارتان منطقيتان في إذا كان لهما جدول الصواب نفسه.

سؤال: هل هنالك طريقة أخرى لإثبات تكافئ العبارات المنطقية غير جدول الصواب؟

جواب: نعم، بالإمكان إثبات تساوي عبارتين باستخدام قوانين الجبر البولي.

سؤال: أين تتم معالجة البيانات المنطقية في الحاسوب؟

جواب: تتم معالجة البيانات المنطقية والتعامل معها في وحدة الحساب والمنطق ALU، وهي قادرة على القيام بعدد من العمليات المنطقية، مثل: (أو، و، لا، وغيرها من المكافئات المنطقية الأخرى)، إضافة إلى الجمع والطرح والخ... حيث تعد وحدة الـ ALU قلب وحدة المعالجة المركزية CPU.

سؤال: كيف يتم تمثيل رموز المنطق في الرياضيات؟

جواب: يتم تمثيل الرموز المنطقية في الرياضيات بالرموز ᴧ ، ، ~ والتي تمثل المنطق و، أو، لا على التوالي.

ليست هناك تعليقات:

إرسال تعليق

???????